1) Ч. м. 1-го рода - специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:
В частности,
Т0 = 1;
T1 =
х;
T2 = 2
x2 ―1;
T3 = 4
x3 ― 3
x;
T4 = 8
x4 ―
8
x2 + 1. Ч. м.
Tn (
x) ортогональны (см.
Ортогональные многочлены) на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 -
x2)
―1/2. Дифференциальное уравнение:
(1 - x2) у" - ху + n2у = 0.
Рекуррентная формула: Tn+1(x) = 2xTn (х) - Tn―1(x).
Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов (См.
Якоби многочлены)
Pn (αβ)(
x)
:
.
2) Ч. м. 2-го рода Un (x) - ортогональная на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 -x2)1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:
(1 - x2) Un―1(х) = xTn (х) ― Tn+1(х).
Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2-3, М.-Л., 1947-48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.